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树的最大连通分支权和计算

题目概述

在给定一棵树T的情况下，每个顶点u都有权值w(u)，可以是负数。任务是要找到树T的一个连通子图，使得该子图的权之和最大。

问题描述

对给定的树T，计算树T的最大连通分支。

算法设计

对于给定的树T，计算树T的最大连通分支。

数据输入

第1行有1个正整数n，表示树T有n个顶点。树T的顶点编号为1,2,…,n。第2行有n个整数，表示n个顶点的权值。接下来的n-1行中，每行有表示树T的一条边的2个整数u和v，表示顶点u与顶点v相连。

输入示例

5-1 1 3 1 -14 11 31 24 5

输出示例

4

算法分析

问题特点

权值之和是树的属性，可以从每个叶节点沿分支累加到根。

树的根是任意的，连通分支中的任何一个节点都可以作为根节点。

权值和加起来最大的连通分支，其权重和可以累加到该分支的任意一个节点。

解题策略

最大连通分支是由多个子分支构成的树A，其权值和等于根的权值加上各个子分支的权值和。

对于权值和>0的子分支，应尽可能大。

要将问题分解为树中每个小树的最大连通分支的求解。

解决思路

分层选择根节点：选择一个根节点x，以x为根节点进行树的分层。

自底向上遍历：从叶节点向根节点遍历，累加权值。

计算最优解：在遍历树过程中，找到权值和最大的节点。

样例解析

以示例中的树为例，取节点1为根节点，分层后权值累加过程如下：

• 关键点：从底至上，权值和为正的节点贡献给其父节点。
• 样例结果：节点1的权值和为4。

算法实现

分层实现

使用广度优先搜索（BFS）层次遍历树。

记录每个节点的父节点和当前层次。

将根节点（如节点1）作为起点，分层后得到层次结构。

权值累加

从叶节点（底层）进行权值处理。

如节点权值小于0，贡献0给父节点；如大于0，则将值加给父节点。

核心代码

#include 
   
    #include 
    
     #include 
     
      #include 
      
       #include 
       
        using namespace std;struct node {    int w;    int parent;    int level;    bool visit;    node() {        w = 0;        parent = 0;        level = 0;        visit = false;    }};vector
        
         
          > adjList;void bfs() { queue
          
            q; list
           
             l; q.push(1); node[1].visit = true; while (!q.empty()) { int cur = q.front(); q.pop(); l = adjList[cur]; for (auto iter = l.begin(); iter != l.end(); ++iter) { int nxt = *iter; if (!node[nxt].visit) { node[nxt].visit = true; node[nxt].parent = cur; node[nxt].level = node[cur].level + 1; q.push(nxt); } } }}int main() { int n, i; cin >> n; adjList.assign(n+1, list
            
             ()); node assignNode(n+1, node()); for (i=1; i<=n; ++i) { cin >> node[i].w; } for (i=0; i < n-1; ++i) { int l, r; cin >> l >> r; adjList[l].push_back(r); adjList[r].push_back(l); } bfs(); while (!rank.empty()) { int cur = rank.top(); rank.pop(); int par = node[cur].parent; node[par].w += (node[cur].w > 0) ? node[cur].w : 0; } int max_w = node[1].w; int maxNode = 1; for (i=2; i<=n; ++i) { if (node[i].w > max_w) { max_w = node[i].w; maxNode = i; } } cout << "该树的最大连通分支的权值和是:" << max_w << '\n'; return 0;}
            
           
          
         
        
       
      
     
    
   

结论

通过以上方法，可以高效地计算出树的最大连通分支权值和。

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